The Riemann ζ #01

以下，数式は画像で，画像読み込めない（読み込まない）環境の人は， LaTeXにおける\[～\]内を想定した記述そのままが代替テキストとして表示されますので， ……頑張って解読してください．

事の発端は，バイト先の子の話．
私が「学校では，もう積分（数学Ⅱ）って終わった？」という質問をした所，「や，今ビデオみてます．あの……インドの……えっと……」という返答．細かく聞いてみた所， 腐った人間代表である私なぞ，足下どころか近づく事すら出来ないんじゃないかとも思われる IITsの天才の方々 のビデオ等を見てるらしい（おそらく以前NHK教育で放送されていたもの？）．どうも無限級数に関してのビデオも見てた様で，その一連のビデオ鑑賞の中で出て来た「正数の無限級数和が負になる」というものに関してちょっと聞かれた．それがタイトルにもなってる“The Riemann ζ function” （りーまんのぜーたかんすう：以下ζ函数）である．

簡潔に，ζ函数のみを記述すると，以下のようになる．
$\zeta (s) =\sum^{\infty}_{n=1}\\frac{1}{n^s}~(s\in\mathbb{R},s＞1)$
この函数を“解析接続によって定義域を複素数平面全体へ拡張”し， s=-1を代入すると，値が-1/12となります．

……1から10まで解説するつもりだったんですが，調べれば調べるほど “とてもこの一回で解説できるものではない” という事がわかりました．次回以降断続的に，解説というより学習ノート的なものを記述していこうと思います．

一つだけ記述が終わっているものがあったので，それだけ載せておきます．収束の証明です．

[証明]
$x＞1$ とすれば $\\frac{1}{x^s}$ は単調に減少するから
$\int^{n+1}_{n}\\frac{dx}{x^s}＜\\frac{1}{n^s}＜\int^{n}_{n-1}\\frac{dx}{x^s}$
ゆえに $s＞1$ ならば
$\sum^{m}_{n=2}\\frac{1}{n^s}＜\int^{m}_{1}\\frac{dx}{x^s}＜\int^{\infty}_{1}\\frac{dx}{x^s}=\\frac{1}{s-1}$
従って $\sum\\frac{1}{n^s}$ は収束する．
[証終]
高木貞治著「解析概論改訂第三版（軽装版）」P149より

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