The Riemann ζ #02

The Riemann ζ 関連の話．以前の雑記（2007/11/3）と同じく画像の代替テキストはLaTeXにおける\\[～\\]内を想定した記述そのまま．参考書籍は高木貞治著「解析概論」（岩波書店：ISBN4000051717．以下“解析概論”）と林実樹廣・長坂行雄共著「複素関数概論」（サイエンス社：ISBN4781910335．以下“複素概論”）．参考サイトは解析接続 - Wikipedia・ゼータ関数と解析接続．不等号の下に線一本は≦や≧と同じ意味です．その他高校2年レベルのものは，解説を省いています．

この函数を“解析接続によって定義域を複素数平面全体へ拡張”し

The Riemann ζ #01（雑記：2007/11/3）より引用

複素概論によれば，解析接続という語が出てくるのはP171．

$C:z=z(t)~(a\\leq t\\leq b)$ を複素平面上の連続曲線として，各tに対してを中心とする関数要素があって，の収束半径をとしたとき，以下の性質をみたすならば， $P(z,z(t))~(0 \\leq t\\leq 1)$ を曲線Cに沿う解析接続という：

$0\\leq t^{\\prime}\\leq t_0\\leq t^{\\prime\\prime}\\leq 1$ ， $z([ t^{\\prime},t^{\\prime\\prime}]) \\subset \\Delta _{r(t_0)}(z(t_0))$ ならば $P(z,z(t))~(t\\in [t^{\\prime},t^{\\prime\\prime}])$ はの直接接続である．

複素概論：P171より引用

$[a,b] = \\alpha\\leq (変数) \\leq\\beta$ ．上記では単にαからβまでの領域という意味で使われているのでしょう． $C:z=z(t)~(a\\leq t\\leq b)$ のa，bは，以下で出てくるものです．関数要素・収束半径・直接接続について．

aを中心とするベキ級数 $P(z,a)=\\sum^{\\infty}_{n=0}a_{n}(z-a)^{n}$ は正の収束半径をもつときaを中心とする関数要素とも呼ばれる．のとき，から得られるbを中心とするベキ級数展開 $P(z,b)=\\sum^{\\infty}_{n=0}b_{n}(z-b)^{n}$ のことをの直接接続であるといい，…

複素概論：P170より引用

aを冪級数の中心といいます．この冪級数（便宜的にS1とする）が収束するか否かについて，基本となる定理があります．

ベキ級数S1に対して， $0\\leq R\\leq\\infty$ が定まり，ベキ級数S1はのとき絶対収束し，のとき発散する．

複素概論：P35より引用（複素概論上での式番号(2.4)をS1に変換．)

冪級数とは， $P(z,a)=\\sum^{\\infty}_{n=0}a_{n}(z-a)^{n}$ の右辺の事． Rを冪級数S1の収束半径とよびます．で， $R = \\infty$ ， $0＜R＜\\infty$ ，の3つの場合に分けて丁寧に説明した場合，以下のいずれかが成立します．

$R = \\infty$ ：S1はすべての複素数zで絶対収束する．

$0＜R＜\\infty$ ：S1はをみたすzで絶対収束し，のとき発散する．このとき，開円板 $\\Delta_{R}(a)$ を収束円という．

：S1はでのみ収束し，その他の複素数zでは発散する．

複素概論：P35より引用（複素概論上での式番号(2.4)をS1に変換．)

$\\Delta_{R}(a)$ $= \\{z\\in\\mathbb{C}:|z-a|＜R \\}$ ，絶対収束とは，複素数列 $\\{z_n}^{\\infty}_{n=0}$ の級数 $\\sum |z_n|$ が収束することを言います．

……と，ここまで書くのに丸3日程かかっていまして．これ以上引き延ばす訳にも行かないので，ひとまずここで切ります．これ以後の話はThe Riemann ζ #03で．

数式ばっかりで，すぐに閉じた人がほとんどだと思います．最後まで読んだ人に，ちょっと不思議な式を．

$\\zeta(-1)=1+2+3+\\dots =-\\frac{1}{12}$
$\\zeta(-2)=1^2 +2^2 +3^2 +\\dots =0$

これを示すのに，解析接続云々の話が必要な訳です．

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