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The Riemann ζ #02

The Riemann ζ 関連の話.以前の雑記(2007/11/3)と同じく画像の代替テキストはLaTeXにおける\\[~\\]内を想定した記述そのまま.参考書籍は高木貞治著「解析概論」(岩波書店:ISBN4000051717.以下“解析概論”)と林実樹廣・長坂行雄共著「複素関数概論」(サイエンス社:ISBN4781910335.以下“複素概論”).参考サイトは解析接続 - Wikipediaゼータ関数と解析接続.不等号の下に線一本は≦や≧と同じ意味です.その他高校2年レベルのものは,解説を省いています.

この函数を“解析接続によって定義域を複素数平面全体へ拡張”し

The Riemann ζ #01(雑記:2007/11/3)より引用

複素概論によれば,解析接続という語が出てくるのはP171.

C:z=z(t)~(a\\leq t\\leq b)を複素平面上の連続曲線として,各tに対して z(t)を中心とする関数要素 P(z,z(t))があって, P(z,z(t))の収束半径を r(t)としたとき,以下の性質をみたすならば, P(z,z(t))~(0 \\leq t\\leq 1)曲線Cに沿う解析接続という:

0\\leq t^{\\prime}\\leq t_0\\leq t^{\\prime\\prime}\\leq 1z([ t^{\\prime},t^{\\prime\\prime}]) \\subset \\Delta _{r(t_0)}(z(t_0))ならば P(z,z(t))~(t\\in [t^{\\prime},t^{\\prime\\prime}])P(z,z(t_0))の直接接続である.

複素概論:P171より引用

[a,b] = \\alpha\\leq (変数) \\leq\\beta.上記では単にαからβまでの領域という意味で使われているのでしょう. C:z=z(t)~(a\\leq t\\leq b)のa,bは,以下で出てくるものです.関数要素・収束半径・直接接続について.

aを中心とするベキ級数P(z,a)=\\sum^{\\infty}_{n=0}a_{n}(z-a)^{n}は正の収束半径 r(a)をもつときaを中心とする関数要素とも呼ばれる. |a-b|< r(a)のとき, P(z,a)から得られるbを中心とするベキ級数展開 P(z,b)=\\sum^{\\infty}_{n=0}b_{n}(z-b)^{n}のことを P(z,a)直接接続であるといい,…

複素概論:P170より引用

aを冪級数の中心といいます.この冪級数(便宜的にS1とする)が収束するか否かについて,基本となる定理があります.

ベキ級数S1に対して, 0\\leq R\\leq\\inftyが定まり,ベキ級数S1は |z-a| < Rのとき絶対収束し, |z-a| > Rのとき発散する.

複素概論:P35より引用(複素概論上での式番号(2.4)をS1に変換.)

冪級数とは,P(z,a)=\\sum^{\\infty}_{n=0}a_{n}(z-a)^{n}の右辺の事. Rを冪級数S1の収束半径とよびます.で, R = \\infty0<R<\\inftyR=0 の3つの場合に分けて丁寧に説明した場合,以下のいずれかが成立します.

  1. R = \\infty:S1はすべての複素数zで絶対収束する.
  2. 0<R<\\infty:S1は|z-a| < Rをみたすzで絶対収束し,|z-a| > Rのとき発散する.このとき,開円板\\Delta_{R}(a)収束円という.
  3. R=0:S1はz=aでのみ収束し,その他の複素数zでは発散する.

複素概論:P35より引用(複素概論上での式番号(2.4)をS1に変換.)

\\Delta_{R}(a)  = \\{z\\in\\mathbb{C}:|z-a|<R \\},絶対収束とは,複素数列 \\{z_n}^{\\infty}_{n=0}の級数 \\sum |z_n|が収束することを言います.

……と,ここまで書くのに丸3日程かかっていまして.これ以上引き延ばす訳にも行かないので,ひとまずここで切ります.これ以後の話はThe Riemann ζ #03で.

数式ばっかりで,すぐに閉じた人がほとんどだと思います.最後まで読んだ人に,ちょっと不思議な式を.

これを示すのに,解析接続云々の話が必要な訳です.

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