要は上から下引いて積分すればいい

懐かしい問題です．かなり昔にやりました．これを~~小学生の知識のみで~~簡単に解く手法はbizarre_sproutさんがブコメ残していますので，全く逆の方向に思考をのばしましょう．積分使いましょう．表記は大学初年度レベルのものを使いますが知識としては高3レベル．計算間違わなければ（ほぼ）一発で出ます．間違わなければ．

計算の都合上， a=2r としています．

右図の赤線， (x+r)^2+(y+r)^2=4r^2 とxy軸で囲まれた部分を4倍してやれば目的の面積が求まるので，それを積分で出す．

y=0 とおくと $x=(\sqrt{3} - 1)r$ ， (x+r)^2+(y+r)^2=4r^2 を変形して，よって青色で塗りつぶした部分の面積はとなる．

2項目を計算すると，…(1)

1項目．に関して， x+r=t と置くと， dx=dt で，

	$0 \to (\sqrt{3} - 1)r$

となるので，(※)

代入して…(2)

上記(1),(2)より

求める値はこれの4倍で，さらに a=2r なので $r^2 = \frac{a^2}{4}$ ，よって最終的な解は $(\frac{1}{3}\pi +1-\sqrt{3})a^2$ となるわけです．

とまぁ，こんな感じです．

補記：(※)について
後日書きますが，原理としては逆関数の微分がわかっていれば良いので高3レベル．ただし逆三角関数が出てくるのは大学初年度．逆正弦関数の微分と逆関数の微分を元に積分します．大学で使う教科書だと(※)は公式として載っていたりします．

追記：2009-07-31T21:30:00+09:00
よく考えたら平方根が出てくる時点で小学生に解くの無理ですね．