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要は上から下引いて積分すればいい

懐かしい問題です.かなり昔にやりました.これを小学生の知識のみで簡単に解く手法はbizarre_sproutさんがブコメ残していますので,全く逆の方向に思考をのばしましょう.積分使いましょう.表記は大学初年度レベルのものを使いますが知識としては高3レベル.計算間違わなければ(ほぼ)一発で出ます.間違わなければ.

計算の都合上,a=2rとしています.

右図の赤線,(x+r)^2+(y+r)^2=4r^2とxy軸で囲まれた部分を4倍してやれば目的の面積が求まるので,それを積分で出す.

y=0とおくとx=(\\sqrt{3} - 1)r(x+r)^2+(y+r)^2=4r^2を変形して,よって青色で塗りつぶした部分の面積はとなる.

2項目を計算すると,…(1)

1項目.に関して,x+r=tと置くと,dx=dtで,

x0 \\to (\\sqrt{3} - 1)r
t

となるので,(※)

代入して…(2)

上記(1),(2)より

求める値はこれの4倍で,さらにa=2rなのでr^2 = \\frac{a^2}{4},よって最終的な解は(\\frac{1}{3}\\pi +1-\\sqrt{3})a^2となるわけです.

とまぁ,こんな感じです.

補記:(※)について
後日書きますが,原理としては逆関数の微分がわかっていれば良いので高3レベル.ただし逆三角関数が出てくるのは大学初年度.逆正弦関数の微分と逆関数の微分を元に積分します.大学で使う教科書だと(※)は公式として載っていたりします.

追記:2009-07-31T21:30:00+09:00
よく考えたら平方根が出てくる時点で小学生に解くの無理ですね.

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