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ただの部分積分法だった

さて,最近さわるのはPythonばかりでRubyはそろそろ書けなくなってる頃何じゃないかと思ったりしながら前回の※の部分を自分で改めて解いてみたところ逆関数の微分とか微塵も使いませんでしtすいませんごめんなさい.

\\int\\sqrt{a^2 -x^2}=x\\sqrt{a^2 -x^2}+\\int\\frac{x^2}{\\sqrt{a^2 -x^2}}dx…(1)(※部分積分法)

ここで2項目に関して,x=a\\sin\\thetaと置くと,dx=a\\cos\\theta d\\theta\\sqrt{a^2 -x^2}=\\sqrt{a^2 -a^2 \\sin^2 \\theta}a\\sqrt{1-\\sin ^2\\theta} =a\\cos\\theta}

よって,
\\int\\frac{x^2}{\\sqrt{a^2 -x^2}}dx =\\int\\frac{a^2 \\sin -2\\theta}{a\\cos\\theta}\\cdot a\\cos\\theta d\\theta=a^2 \\int\\sin ^2 \\theta d\\theta = \\frac{a^2}{2}\\int (1-\\cos^2 \\theta )d\\theta

=\\frac{a^2}{2}\\int d\\theta - \\frac{a^2}{2}\\int\\cos 2\\theta d\\theta =\\frac{a^2}{2}\\theta - \\frac{a^2}{2}\\cdot\\frac{1}{2}\\sin 2\\theta =\\frac{a^2}{2}\\theta - \\frac{a^2}{2}\\cdot\\sin\\theta\\cos\\theta =\\frac{a^2}{2}\\theta - \\frac{a^2}{2}\\cdot\\frac{x}{a}\\sqrt{1-\\frac{x^2}{a^2}} =\\frac{a^2}{2}\\theta - \\frac{a^2}{2}\\sin\\theta\\frac{1-\\sin^2 \\theta} =\\frac{a^2}{2} - \\frac{x}{2}\\sqrt{a^2 ^ x^2} =\\frac{a^2}{2}\\arcsin\\frac{x}{a} - \\frac{x}{2}\\sqrt{a^2 -x^2}…(2)

以上,(1),(2)より,
\\int\\sqrt{a^2 -x^2}=\\frac{x}{2}\\sqrt{a^2 -x^2}+\\frac{a^2}{2}\\arcsin\\frac{x}{a}

……ものすごく見づらいですが.こんな感じ.ただ計算するだけ.逆正弦関数(\arcsin x)に少々面食らうかもしれませんが,その程度です.

…というか,この手の問題,自分で紙に改めて整理しながら書かないとどうしようもない気がしたり.dviとpdfアップロードしておきます.

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